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已知xy>0,且3x+y=xy,求x+y最小值

數(shù)學 2024-07-02 09:51 已查看[]次

推薦解答

xy>0,則x和y同號

3x+y=xy>0

所以：x和y都是正數(shù)

3x=(x-1)y

y=3x/(x-1)=3(x-1+1)/(x-1)=3+3/(x-1)>3

所以：x>1,y>3

x+y

=x+3x/(x-1)

=(x^2-x+3x)/(x-1)

=(x^2+2x)/(x-1)

=[(x-1)^2+4(x-1)+3]/(x-1)

=(x-1)+3/(x-1)+4

>=2√3+4

當且僅當x-1=3/(x-1)即x-1=√3,x=1+√3時取得最小值2√3+4

所以：x+y的最小值為2√3+4

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